Geometrická posloupnost

Příklady

V matematiky , je geometrická sekvence je sekvence z čísel , ve které každý termín umožňuje odvodit další prostřednictvím násobení konstantním faktorem názvem důvod . Geometrická posloupnost má tedy následující tvar:

a, \ aq, \ aq ^ {2}, \ aq ^ {3}, \ aq ^ {4}, \ \ ldots

Definici lze zapsat formou relace opakování , tj. Pro každé přirozené číslo $n$ :

u_ {n + 1} = q \ krát u_ {n} \; \ \ u_ {0} = a

Tento vztah je charakteristický pro geometrický postup, který se nachází například ve vývoji bankovního účtu se složeným úrokem nebo ve složení hudebních intervalů . Umožňuje také modelovat exponenciální růst (ve kterém je změna úměrná množství) procesem v diskrétním čase .

Geometrické sekvence splňují obecný vzorec pro výpočet termínů i pro související řady . Mohou být také použity k výpočtu konkrétních řešení pro vztahy lineární rekurence .

Oblast použití

Geometrická posloupnost je privilegovaným nástrojem pro studium jevů s exponenciálním růstem nebo poklesem (jedná se o diskrétní ekvivalent exponenciální funkce ) nebo pro studium populací, jejichž velikost se zdvojnásobuje nebo snižuje na polovinu v intervalu. Konstantního času (období).

Příklad:

Uhlík 14 14 C je atom radioaktivní jehož období nebo poločas T = 5730 let (asi 40 let). To znamená, že v případě odstavení systému (ukončení obchodu s vnějším světem) se množství uhlíku-14 snižuje o polovinu každých 5 730 let.

Pokud

N

je množství 14 C v systému, po T letech (T = 5 730 let) zbývají pouze N / 2 jádra 14 C. Na konci 2T zbývají pouze N / 4 jádra. Na konci 3T zůstalo pouze N / 8 jader. Pokud

N n

nazýváme množstvím jader 14 C na konci

n

period, posloupnost

( N n )

je geometrická s poměrem 1/2.

Pozorujeme geometrické posloupnosti v přírodě. Například planetární systém HD 158259 má čtyři až šest planet, jejichž orbitální období téměř tvoří geometrickou posloupnost rozumu $3 / 2$ .

Našli jsme geometrické sady v bankovním systému s výpočtem složeného úroku .

Příklad:

Kapitál $C 0$ investovaný s 5% přináší po jednom roce úrok $0,05 \times C 0$ . Tyto úroky přidané ke kapitálu dávají nový kapitál $C 1 = 1,05 \times C 0$ . Opakováním procesu každý rok vytvoříme geometrickou posloupnost poměru 1,05, protože $C n + 1 = 1,05 \times C n$ .

Vyskytují se také v muzikologii . Počínaje určitou počáteční frekvencí odpovídá posloupnost oktáv geometrickému postupu poměru 2 (směrem k výškám), posloupnosti čistých pětin (ty z Pythagorovy akordu ) geometrickému postupu poměru 3/2, posloupnosti půltónů temperované stupnice při geometrickém postupu rozumu dvanáctý kořen 2. Temperovaná stupnice používá pouze dvanáct čistých pětin, (3/2) 12 ≈ 129 746, které mají hodnotu „téměř“ 7 oktáv, 2 7 = 128, to znamená, že dvě geometrické sekvence stejné počáteční hodnoty, jedna z poměru 3/2 druhá z poměru 2, které se nemohou přesně shodovat v žádném bodě, se shodují přibližně pro tyto hodnoty.

Obecný termín

Pokud K je komutativní pole - například ℝ (pole reálných čísel ) nebo ℂ (pole komplexů ) - a pokud je geometrická posloupnost K poměru q ∈ K, pak pro každé přirozené celé číslo n : $(u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}$

u_ {n} = u_ {0} q ^ {n}

(včetně $případů,$ kdy $q$ a $n$ jsou nula, s konvencí 0 0 = 1 ).

Geometrická posloupnost je tedy zcela určena údaji jeho prvního členu a jeho důvodem q .

Geometrickou posloupnost lze také definovat z libovolné pozice $n 0$ , tj. Pro všechna $n \geq n 0$ , pomocí:

u_ {n} = u_ {n_ {0}} q ^ {n-n_ {0}}

který sleduje stejný vztah opakování. Tento případ se přenese zpět na předchozí případ nastavením $v n = u n 0 + n,$ které je geometrické se stejným důvodem jako $u n$ z $v 0 = u n 0$ .

Směr variace a konvergence

Budeme předpokládat, že $u 0$ není nula.

Směr variace

Tento odstavec se týká geometrických posloupností s hodnotami v ℝ.

pokud $q <0,$ posloupnost není monotónní a střídavě osciluje v záporných a kladných číslech. Říká se, že je to alternativní .
-li q∈[0;1[{\ displaystyle q \ v [0; 1 [} $q \ v [0; 1 [$
- pokud $u 0 > 0$ , posloupnost pozitivně klesá
- je-li $u 0 <0$ , posloupnost se negativně zvyšuje
-li q∈]1;+∞[{\ displaystyle q \ in] 1; + \ infty [} $q \ in] 1; + \ infty [$
- je-li $u 0 > 0$ , posloupnost se pozitivně zvyšuje
- je-li $u 0 <0$ , je sekvence záporně klesající
pokud $q = 1,$ sekvence je konstantní.

Konvergence

V ℝ

ano , sekvence se liší a nemá žádné omezení. V ℝ jsou hodnoty adheze $+ \infty$ a $-\infty$ . $q <-1 \,$
pokud se posloupnost rozchází a má dvě hodnoty adheze: $u$ $0$ a $-$ $u$ $0$ $q = -1 \,$
pokud posloupnost konverguje k 0 $| q | <1 \,$
pokud je posloupnost konstantní a konverguje k $u$ $0$ $q = 1 \,$
if , the sequence is divergent but has a limit equal to q>1{\ displaystyle q> 1 \,} $q> 1 \,$
- $+ \ infty$ pro $u 0 > 0$
- $- \ infty$ pro $u 0 <0$

Demonstrace

Předpokládejme, bez újmy na obecnosti , $u 0 = 1$ .

Pokud $q \leq 0$ redukuje na případ $q \geq 0$ zkoumáním dvou podsekvencí sudých indexů a lichých indexů. Případy $q = 0$ a $q = 1$ jsou okamžité.

Jestliže $0 < q <1$ , pak sekvence $( q n ),$ se snižuje a pozitivní, proto konverguje ke skutečnému $pásmy \geq 0$ . Posloupnost $( q n +1 )$ proto konverguje jak k $ℓ$ - jako subsekvence $( q n )$ , nebo pomocí věty četníků od $0 \leq q n +1 \leq q n$ - a ke $q ℓ$ - jako součin $( q n )$ konstantou $q$ - tedy $ℓ = q ℓ$ (jedinečností limitu). Jako $q \neq 1$ usoudíme, že $ℓ = 0$ .
Pokud $q > 1$ , můžeme snížit $q n$ pomocí binomického vzorce nebo Bernoulliho nerovnosti : $q n \geq 1 + n ( q - 1)$ . Protože $q - 1> 0$ , aritmetická posloupnost $(1 + n ( q - 1))$ má tendenci k $+ \infty,$ proto i posloupnost $( q n )$ .

Poznámka: přechodem na druhou stranu můžeme odvodit každý z těchto dvou případů z druhého nebo upravit způsob jednoho tak, aby se druhý restartoval přímo.

V ℂ

pokud posloupnost konverguje k 0. $\ left | q \ right | <1$
ano , zbytek se liší. $\ left | q \ right |> 1$
pokud $q = 1$ , posloupnost je konstantní a konverguje k $u 0$ .
pokud a , výsledek se liší. $q \ neq 1$ $\ left | q \ right | = 1$

Srovnávací růst

Uvažujeme zde sekvence s hodnotami v ℝ.

Ukazuje se ( binomickým vzorcem nebo nerovností Bernoulli ), že pro každé celé číslo n a jakékoli skutečné t kladné . Tato nerovnost umožňuje potvrdit, že geometrická posloupnost důvodu $1 +$ $t$ a prvního členu $a$ roste rychleji než aritmetická posloupnost důvodu $a$ $\times$ $t$ . Nicméně, v praxi, pro malé hodnoty T a přiměřené hodnoty pro $n$ , tyto dvě sekvence jsou téměř stejné. Tato aproximace je matematicky ospravedlněna omezeným vývojem řádu 1, když t má tendenci k 0: což poskytuje aproximaci . $(1 + t) ^ {n} \ geq 1 + nt$ $(1 + t) ^ {n} = 1 + nt + o (t)$ $~ (1 + t) ^ {n} \ přibližně 1 + nt$

Ilustrace s a = 1000 at = 0,004, tj. Důvod a × t = 4:

ne	aritmetický postup	geometrická posloupnost
0	1000	1000
1	1004	1004
2	1008	1,008,016
3	1012	1012 048
4	1016	1016 096
5	1020	1020161
6	1024	1024,241
7	1028	1028 338
8	1032	1032452
9	1036	1036 581
10	1040	1040,728
11	1044	1 044 891
12	1048	1049 070

Tato aproximace umožňuje finanční využití jako měsíční úroková sazba na 12 -tého meziroční tempo t , místo braní přesnou hodnotu ; čím nižší rychlost, tím lepší. ${\ sqrt [{12}] {1 + t}} - 1$

Součet podmínek

Součtu první n + 1 Podmínky geometrické posloupnosti $( u k ),$ $k$ ∈ ℕ o poměr $q \neq 1$ ověří: $\ sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} = u_ {0} + \ cdots + u_ {n} = u_ {0} (1 + q + \ cdots + q ^ {n}) = u_ {0} {\ frac {1-q ^ {n + 1}} {1-q}} \ \ (q \ neq 1)$ ( pro důkazy viz článek Geometrická řada , část Obecný termín ).

Když q = 1, posloupnost je konstantní a u 0 +… + u n = ( n +1) u 0 .

Vzorec lze zobecnit z libovolného pořadí m , přičemž posloupnost $( u m + k )$ $k$ ∈ ℕ je také geometrická. Obecněji, pokud posloupnost $( u k )$ sleduje geometrický postup mezi m a n , který má tedy délku n - m + 1, máme následující vzorec, když se důvod q liší od 1:

$\ sum _ {k = m} ^ {n} u_ {k} = u_ {m} ~ {\ frac {1-q ^ {n-m + 1}} {1-q}} = {\ text {první termín} } \ times {\ dfrac {1 - {\ text {reason}} ^ {\ text {počet termínů}}} {1 - {\ text {reason}}}}.$

Hodnota součtu podmínek geometrickou řadou je demonstrována knihy IX z prvků z Euclida , Věta 33 Proposition XXXV, pro celá čísla větší než 1 (ale obecnou metodou). Tvrzení uvádí, že při geometrickém postupu jsou rozdíly mezi prvním a druhým členem na jedné straně a prvním a posledním členem na druhé straně úměrné prvnímu členu a součtu všech předchozích výrazů poslední. Buď v algebraickém jazyce ${\ frac {u_ {0}} {u_ {1} -u_ {0}}} = {\ frac {u_ {0} + u_ {1} + \ cdots + u_ {n-1}} {u_ {n } -u_ {0}}}$

Poznámky a odkazy

„ Systém šesti planet (téměř) v rytmu “ , Ženevská univerzita ,16. dubna 2020(zpřístupněno 6. května 2020 ) .
Jean-Pierre Marco a Laurent Lazzarini, Mathematics L1 , Pearson ,2012( číst online ) , s. 597.
Jean-Pierre Ramis , André Warusfel a kol. „ Mathematics: All-in-one for the License - Level L1 , Dunod , coll. "Sup Sciences",2013, 2 nd ed. ( 1 st ed. 2006) ( číst on-line ) , str. 538, prop. 16 a str. 526 , prop. 8.
(in) Walter Rudin , Principles of Mathematical Analysis , McGraw-Hill ,1976, 3 e ed. ( 1 st ed. 1953) ( číst čára ) , str. 57, Věta 3.20e.
(in) Steen Pedersen Od počtu k analýze , Springer ,2015( číst online ) , s. 30.
Jean-Pierre Marco a Laurent Lazzarini , Mathematics L1: Kompletní kurz s 1000 opravenými testy a cvičeními , Paříž, Pearson ,2012, 1073 str. ( ISBN 978-2-7440-7607-7 , číst online ) , s. 121.
Patnáct knih o geometrických prvcích Euklida, překlad D. Henriona, 1632, s. 344-345 ; důkaz v moderním algebraickém jazyce založeném na stejném principu je uveden v Geometrické řadě # Proof_utilant_des_règles_de_proportionnalité .

Podívejte se také

Související články