V euklidovské geometrii je mnohoúhelník (z řeckého polus , many a gônia , úhel ) plochá geometrická postava tvořená přerušovanou čárou (nazývanou také polygonální čára ) uzavřenou, to znamená cyklickou posloupností po sobě jdoucích segmentů .
Segmenty se nazývají hrany nebo strany a konce stran se nazývají vrcholy nebo rohy mnohoúhelníku.
Mnohoúhelník se říká, že je překročen, pokud se protínají alespoň dvě nenasledující strany, a jednoduchý, pokud je průsečík dvou stran prázdný nebo redukovaný na vrchol pro dvě po sobě následující strany. Součet úhlů jednoduchého mnohoúhelníku ( konvexního nebo ne) závisí pouze na jeho počtu vrcholů.
V případě jednoduchých polygonů často zaměňujeme polygon a jeho vnitřek voláním polygonového povrchu ohraničeného uzavřenou polygonální čarou.
Pojem mnohoúhelník je zobecněn:
Polygon je tvořen:
Mnohoúhelník je obecně označen srovnáním písmen označujících vrcholy v níže uvedeném pořadí.
Označení polygonu v celé obecnosti je proto psáno A 1 A 2 A 3 ··· A n , složené z n vrcholů a n segmentů [A 1 , A 2 ], [A 2 , A 3 ],…, [ A n –1 , A n ] a [A n , A 1 ].
Každý vrchol odlišný od jeho dvou sousedů je spojen s vnitřním úhlem : je to úhel mezi dvěma stranami, které končí u vrcholu.
Obvod mnohoúhelníku je součet délek jeho stran.
Pořadí polygonu je počet jejích stranách. Je to samozřejmě také počet jeho vrcholů nebo počet jeho úhlů.
Čáry, které nesou strany mnohoúhelníku, se nazývají prodloužené strany tohoto mnohoúhelníku.
Úhlopříčky mnohoúhelníka je segment, který spojuje dva non-po sobě jdoucí vrcholy, to znamená, je segment, který spojuje dva vrcholy, a který není stranou polygonu.
Mnohoúhelník s n stranami má tedy úhlopříčky.
Existuje mnoho způsobů, jak klasifikovat polygony: podle jejich konvexity , jejich symetrie , jejich úhlů ... Nejprve je však klasifikujeme podle jejich počtu stran.
Mnohoúhelníky lze mezi sebou klasifikovat podle jejich pořadí .
Mnohoúhelníky řádu 1 a 2 se považují za zdegenerované: odpovídají příslušně bodu a segmentu , a proto mají zejména nulovou oblast .
Nejzákladnějším nedegenerovaným mnohoúhelníkem je trojúhelník .
Dále přichází čtyřúhelník řádu 4.
Od řádu 5 je každý název mnohoúhelníku tvořen řeckým kořenem odpovídajícím pořadí mnohoúhelníku, za kterým následuje přípona -gone .
Chcete-li se zorientovat v pojmenování mnohoúhelníků, měli byste si pamatovat, že -kai- znamená „a“ v řečtině a že -conta- znamená „deset“. Například slovo triacontakaiheptagon znamená tři ( tria- ) desítky ( -conta- ) a ( -kai- ) sedm ( -hepta- ) jednotek, a proto odpovídá polygonu třiceti sedmi stran, “a„ je zde interpretováno jako „ více “.
Kromě 12 stran je zvykem hovořit o mnohoúhelníku s n stranami .
Existuje však několik starodávných jmen pro „kulatá“ čísla, například mnohoúhelník s dvaceti stranami (icosa-), sto stranami (hekto), jedním tisícem stran (chilio-) a deseti tisíci stranami (myria-).
Polygonové označeníd'Alembert, Le Blond, L'Encyclopédie, 1. vyd. , t. Svazek 12,1751( čti na Wikisource ) , s. 941-943
Encyklopedie uvádí princip, ke kterému je třeba přidat číslování starořečtiny.
Stejné zásady platí pro mnohostěnů , kde tedy postačí nahradit příponu -gone s příponou -èdre .
Mnohoúhelník se říká, že byl překročen, pokud se protínají alespoň dvě jeho strany , to znamená, že se protínají alespoň dvě jeho nenasledující strany. To je případ pětiúhelníku ABCDE naproti.
Jednoduchý mnohoúhelníkPolygon se říká, že je jednoduchý, pokud se dvě nenasledující strany nesetkají a dvě po sobě následující strany mají společný pouze jeden ze svých vrcholů. Jednoduchý mnohoúhelník je vždy nepřekřížený.
Poté vytvoří Jordanovu křivku , která ohraničuje ohraničenou část roviny, která se nazývá její vnitřek . Plocha jednoduchého polygonu se nazývá oblast jejího interiéru.
Konvexní mnohoúhelníkJednoduchý mnohoúhelník se říká, že není konvexní, pokud jeho vnitřek není konvexní , jinými slovy, pokud jedna z jeho úhlopříček není zcela uvnitř.
Například jediný pětiúhelník ACDBE naproti je nekonvexní, protože úhlopříčky [B, C] a [C, E] nejsou uvnitř mnohoúhelníku. Otevřený segment ] B, C [je dokonce úplně venku. Existence takového „ústí“ je obecnou vlastností jednoduchých nekonvexních mnohoúhelníků.
Konvexní mnohoúhelníkPolygon se říká, že je konvexní, pokud je jednoduchý a pokud je jeho vnitřek konvexní . To znamená, že MNOPQR šestiúhelník opak je konvexní.
Tyto symetrie polygonu řádu n jsou isometries z euklidovské rovině , která permutaci jak jeho n vrcholů a jeho n hrany. Taková afinní mapa nutně fixuje isobarycentrum G vrcholů, proto může být pouze dvou typů:
Množina symetrií jakékoliv rovině obrázku je podskupinou ze skupiny rovinných shodností. Ve skutečnosti, když skládáme dvě z těchto symetrií, nebo když vezmeme reciproční bijekci jedné z nich, výsledkem je stále symetrie obrázku.
Symetrie mnohoúhelníku řádu n dokonce tvoří konečnou skupinu , která je stejná, pro některého dělitele d z n :
O mnohoúhelníku řádu n se říká, že je pravidelný, pokud je rovnostranný (stejné strany) a rovnoramenný (stejné úhly), nebo pokud je „co nejsymetrickější “, to znamená, že jeho skupina symetrie je D n . K tomu stačí, aby polygon měl n os os symetrie, nebo jinak: rotaci řádu n . Když říkáme, „ pravidelný polygon objednávky n “, že je „ jedinečný “ konvexní polygon této rodiny (můžeme snadno spočítat jeho obvodu a jeho rozloha ).O ostatních se říká, že jsou označeny hvězdičkou .
Několik příkladů a protikladůSkupina symetrie je vzepětí právě tehdy, má-li mnohoúhelník osu symetrie. Pokud mnohoúhelník není překročen , taková osa nutně prochází vrcholem nebo středem jedné strany .
Přesněji :
V polygonu řádu n , aby izobarycentrum bylo středem symetrie - to znamená, aby skupina symetrie C d nebo D d obsahovala rotaci úhlu π - je nezbytné a dostatečné, aby d bylo sudé, takže n musí být rovnoměrné. Protilehlé strany jsou pak rovnoběžné a stejné délky.
Nezkřížené čtyřúhelníky se středovou symetrií jsou rovnoběžníky.
Mnohoúhelník je považován za rovný, když jsou všechny jeho vnitřní úhly stejné. V konvexním konvexním polygonu s rovnými stranami a n stranami má každý vnitřní úhel rozměry (1 - 2 / n ) × 180 ° (viz § „Součet úhlů“ níže ).
Nějaké příkladyPravoúhlý trojúhelník má pravý úhel a dva ostré úhly .
Konvexní čtyřúhelníky s nejméně dvěma pravými úhly jsou pravoúhlé lichoběžníky a draky se dvěma pravými úhly (in) (tvořené dvěma pravoúhlými trojúhelníky spojenými jejich přeponou).
Čtyřúhelníky s nejméně třemi pravými úhly jsou obdélníky.
Konvexní mnohoúhelník nemůže mít více než čtyři pravé úhly.
Mnohoúhelník se říká, že je zapisovatelný, když jsou všechny jeho vrcholy na stejné kružnici , která se nazývá kružnice ohraničená polygonem . Jeho strany jsou pak řetězce tohoto kruhu .
Mezi zapisovatelné čtyřúhelníky patří rovnoramenné lichoběžníky , antiparallelogramy a draky se dvěma pravými úhly .
Obepsat mnohoúhelník (s kružnicí)Mnohoúhelník se říká, že je ohraničen, když jsou všechny jeho strany tečné ke stejné kružnici, která se nazývá kruh vepsaný do mnohoúhelníku . Anglofony a německé reproduktory pokřtily tento typ polygonu „tangenta polygon“.
Příklady vymezující čtyřúhelníkyPolygon, který je jak nenapsatelný, tak ohraničitelný, je považován za dvoustranný (in) . Trojúhelníky a pravidelné mnohoúhelníky jsou dvoustranné.
Viz také: „ Velká Ponceletova věta “ a „ Bicentrický čtyřúhelník (in) “.
Součet vnitřních úhlů jednoduchého mnohoúhelníku řádu n nezávisí na jeho tvaru. Stojí za to (v radiánech a ve stupních ):
Ve skutečnosti je tento vzorec, dobře známý pro n = 3 , zobecněn dělením polygonu na n - 2 trojúhelníky sousedící dva dvěma dvěma společnou stranou, která je úhlopříčkou tohoto polygonu (v konkrétním případě konvexního polygonu je stačí vzít v úvahu všechny segmenty spojující určitý vrchol se všemi ostatními).
Dalším způsobem, jak demonstrovat tento vzorec, je všimnout si, že (pro vhodně orientované úhly ) je součet n vnějších úhlů roven 360 ° a vnější a vnitřní úhly spojené se stejným vrcholem mají součet 180 ° .
Dva polygony jsou považovány za rovnocenné, pokud je lze získat rotací nebo odrazem od sebe navzájem.
Tak jsou neekvivalentní mnohoúhelníku (pokračování A000940 na OEIS ).
Mezi nimi jsou chirální ( chirální polygony pro strany). Počet neekvivalentních polygonů na otáčku je proto stojí pouze (pokračování A000939 na OEIS ).